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第一章 随机事件及其概率

第一节 基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件-单点集，复合事件-多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)

包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。 相等关系：若B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记为A=B。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 A∪B。

事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。 事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A-B。 用交并补可以表示为A?B?AB。

互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时A?B可记为A+B。

对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件)，记为A。对立事件的性质：A?B??,A?B??。

事件运算律：设A，B，C为事件，则有

(1)交换律：A∪B=B∪A，AB=BA

(2)结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC

(4)对偶律(摩根律)：A?B?A?B A?B?A?B

第二节 事件的概率

概率的公理化体系：

(1)非负性：P(A)≥0;

(2)规范性：P(Ω)=1

(3)可数可加性：A1?A2???An??两两不相容时

P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)??

概率的性质：

(1)P(φ)=0

(2)有限可加性

第三节 古典概率模型

1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为P(A)?k n

2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为P(A)??(A) ?(?)

假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节 条件概率

条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). P(A|B)?P(AB) P(B)

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

全概率公式：设A1,A2,?,An是一个完备事件组，则P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)

贝叶斯公式：设A1,A2,?,An是一个完备事件组,则

P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai) P(A)P(B|A)jj

第五节 事件的独立性

两个事件的相互独立：若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A、B独立，或称A、B相互独立.

三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立

三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A、B、C两两独立

独立的性质：若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立

总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

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